当且仅当的迷思

别笑。

我不知道有少人像我一样思考过这个问题:“为什么‘当且仅当’不能被‘仅当’”替代?至少我知道不止我一个人,因为随便上网上搜索,哪怕是英文的“if and only if”,都能搜到一大篇同样的疑问。

绝大部分人的回答都是:当表示充分,仅当表示必要,当时仅当表示充要blabla……

这个回答有错吗?没有错。我们都知道、或者可以很容易地搜索出“当且仅当”的逻辑定义,可是并没有解决我们的疑问:为什么当且仅当依然听上去那么别扭?为什么直觉告诉我它可以被仅当替代?

在我们开始之前,我们先复习一下逻辑上此词语的定义。

当:if,表示充分条件。例句:当A<2,A<3

仅当:if only,表示必要条件。例句:仅当A<4,A<3

当且仅当:iff,表示充要条件。当且仅当A<3,A<3

是不是很清晰明了?可惜的是,语言本身并没有这么精确。让我们回到日常生活中的语境之中,来分析仅当的意味。

首先要说明的是,其实在普通语境中尤其是口语中,仅当这词实在是用的太少。一个更常见的替代词是:只有。举个例子吧,

只有冬天下雪。

姑且不论这话是否正确(六月飞雪?!),这个论断表明了下雪只能发生在冬天,而冬天不一定下雪。似乎完全符合逻辑上的“仅当”的定义?

那么我们换一个语境。此问题来自于知乎某位用户,由于我实在找不到更合适的,直接照抄如下:

员工问老板:“何时放假”?

老板答:“只有周末放假”。

那么问题来了,有多少人会把这句话理解成“放假一定在周末,但是周末不一定放假”呢?如果在辩论大赛上,估计稍微眼尖一点的人能读出这层意思。但是日常中?我想大部分人会简单地把这句话解读成“周末放假”——一个充分必要条件。

这就是问题所在——在很多时候我们说仅当或者说只有的时候,可能恰恰表达了当且仅当的意思。我无法解释为何之前那个冬天下雪的例子为何听上去那么顺耳,大概是因为我们的常识所然?一般而言,如果我们要明确表达逻辑上的“仅当”的概念,我们会用一些诸如“能”、”会“的助词来消除歧义,譬如

只有冬天能下雪。

只有冬天会下雪。

这一下“必要但不充分”的感觉就出来了。甚至更强烈地,直接上“可能”:

只有冬天可能下雪。

谁再说有歧义我不打死他!

话又说回来了,“只有”并不是只有(……)“仅当”的意思。还有一个挺常见的意思是表示拥有权的,类似

我只有四个苹果。

我不知道在学名上这种命题和之前一直谈到的那种有什么不同,但至少它不是“if…then”类型的条件判断语句。而且我们可以看出,在这种表拥有权的使用场合下,“只有”的意思就是“有且仅有”。没有人会得出“我可能并没有三个苹果”之类的结论。我可以大言不惭地说“有且仅有”就是多余的,意思和“仅有”完全一致。这和之前“当且仅当”的情况就有巨大差别了。可以说这两种情况的不一致性加剧了“当且仅当”这一短语的反直觉性。

不得不承认,因为我不是语言学上的专家,我依然无法给出肯定的结论。但是至少,下次再有人为这个问题而感到迷惑,好歹他能搜出一些除了逻辑定义之外的东西。

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